快速排序及优化

quicksort可以说是应用最广泛的排序算法之一,它的基本思想是分治法,选择一个pivot(中轴点),将小于pivot放在左边,将大于 pivot放在右边,针对左右两个子序列重复此过程,直到序列为空或者只有一个元素。这篇blog主要目的是关注quicksort可能的改进方法,并对 这些改进方法做评测。其目的是为了理解Arrays.sort(int [ ]a)的实现。实现本身有paper介绍。

quicksort一个教科书式的简单实现,采用左端点做pivot(《算法导论》上伪代码是以右端点做pivot):

[java]
public void qsort1(int[] a, int p, int r) {
// 0个或1个元素,返回
if (p >= r)
return;
// 选择左端点为pivot
int x = a[p];
int j = p;
for (int i = p + 1; i <= r; i++) {
// 小于pivot的放到左边
if (a[i] < x) {
swap(a, ++j, i);
}
}
// 交换左端点和pivot位置
swap(a, p, j);
// 递归子序列
qsort1(a, p, j - 1);
qsort1(a, j + 1, r);
}
[/java]

quicksort的最佳情况下的时间复杂度O(n logn),最坏情况下的时间复杂度是O(n^2),退化到插入排序的最坏情况,平均情况下的平均复杂度接近于最佳情况也就是O(nlog n),这也是基于比较的排序算法的比较次数下限。

为了对排序算法的性能改进有个直观的对比,我们建立一个测试基准,分别测试随机数组的排序、升序数组的排序、降序数组的排序以及重复元素的数组排序。首先 使用java.util.Arrays.sort建立一个评测基准,注意这里的时间单位是秒,这些绝对时间没有意义,我们关注的是相对值,因此这里我不会 列出详细的评测程序:

算法

随机数组

升序数组

降序数组

重复数组

Arrays.sort

136.293

0.548

0.524

26.822



qsort1对于输入做了假设,假设输入是随机的数组,如果排序已经排序的数组,qsort1马上退化到O(n^2)的复杂度,这是由于选定的pivot每次都会跟剩余的所有元素做比较。它跟Arrays.sort的比较:

算法

随机数组

升序数组

降序数组

重复数组

Arrays.sort

136.293

0.548

0.524

26.822

qsort1

134.475

48.498

141.968

45.244



果然,在排序已经排序的数组的时候,qsort的性能跟Arrays.sort的差距太大了。那么我们能做的第一个优化是什么?答案是将pivot的选择随机化,不再是固定选择左端点,而是利用随机数产生器选择一个有效的位置作为pivot,这就是qsort2:

[java]
public void qsort2(int[] a, int p, int r) {
// 0个或1个元素,返回
if (p >= r)
return;
// 随机选择pivot
int i = p + rand.nextInt(r - p + 1);
// 交换pivot和左端点
swap(a, p, i);
// 划分算法不变
int x = a[p];
int j = p;
for (i = p + 1; i <= r; i++) {
// 小于pivot的放到左边
if (a[i] < x) {
swap(a, ++j, i);
}
}
// 交换左端点和pivot位置
swap(a, p, j);
// 递归子序列
qsort2(a, p, j - 1);
qsort2(a, j + 1, r);
}
[/java]

再次进行测试,查看qsort1和qsort2的对比:

算法

随机数组

升序数组

降序数组

重复数组

qsort1

134.475

48.498

141.968

45.244

qsort2

227.87

19.009

18.597

74.639



从随机数组的排序来看,qsort2比之qsort1还有所下降,这主要是随机数产生器带来的消耗,但是在已经排序数组的排序上面,qsort2有很大进步,在有大量随机重复元素的数组排序上,qsort2却有所下降,主要消耗也是来自随机数产生器的影响。

更进一步的优化是在划分算法上,现在的划分算法只使用了一个索引i,i从左向右扫描,遇到比pivot小的,就跟从p+1开始的位置(由j索引进行递增标 志)进行交换,最终的划分点落在了j,然后将pivot调换到j上,再递归排序左右两边子序列。一个更高效的划分过程是使用两个索引i和j,分别从左右两 端进行扫描,i扫描到大于等于pivot的元素就停止,j扫描到小于等于pivot的元素也停止,交换两个元素,持续这个过程直到两个索引相遇,此时的 pivot的位置就落在了j,然后交换pivot和j的位置,后续的工作没有不同,示意图

改进后的qsort3代码如下:

[java]
public void qsort3(int[] a, int p, int r) {
if (p >= r)
return;

    // 随机选
    int i = p + rand.nextInt(r - p + 1);
    swap(a, p, i);

    // 左索引i指向左端点
    i = p;
    // 右索引j初始指向右端点
    int j = r + 1;
    int x = a[p];
    while (true) {
        // 查找比x大于等于的位置
        do {
            i++;
        } while (i &lt;= r &amp;&amp; a[i] &lt; x);
        // 查找比x小于等于的位置
        do {
            j--;
        } while (a[j] &gt; x);
        if (j &lt; i)
            break;
        // 交换a[i]和a[j]
        swap(a, i, j);
    }
    swap(a, p, j);
    qsort3(a, p, j - 1);
    qsort3(a, j + 1, r);
}

[/java]

这里要用do……while是因为i索引的初始位置是pivot值存储的左端点,而j所在初始位置是右端点之外,因此都需要先移动一个位置才是合法的。查看下qsort2和qsort3的基准测试对比:

算法

随机数组

升序数组

降序数组

重复数组

qsort2

227.87

19.009

18.597

74.639

qsort3

229.44

18.696

18.507

43.428



可以看到qsort3的改进主要体现在了大量重复元素的数组的排序上,这是因为qsort3在遇到跟pivot相等的元素的时候,还是进行停止并交换,而 非跳过;假设遇到相等的元素你不停止,那么这些相等的元素在下次划分的时候需要再次进行比较,比较次数退化到最差情况的O(n^2),而通过在遇到相等元 素的时候停止并交换,尽管增加了交换的次数,但是却避免了所有元素相同情况下最差情况的发生。

改进到这里,回头看看我们做了什么,首先是使用随机挑选pivot替代固定选择,其次是改进了划分算法,从两端进行扫描替代单向查找,并仔细处理元素相同的情况。

插入排序的时间复杂度是O(N^2),但是在已经排序好的数组上面,插入排序的最佳情况是O(n),插入排序在小数组的排序上是非常高效的,这给我们一个 提示,在快速排序递归的子序列,如果序列规模足够小,可以使用插入排序替代快速排序,因此可以在快排之前判断数组大小,如果小于一个阀值就使用插入排序, 这就是qsort4:

[java]
public void qsort4(int[] a, int p, int r) {
if (p >= r)
return;

    // 在数组大小小于7的情况下使用快速排序
    if (r - p + 1 &lt; 7) {
        for (int i = p; i &lt;= r; i++) {
            for (int j = i; j &gt; p &amp;&amp; a[j - 1] &gt; a[j]; j--) {
                swap(a, j, j - 1);
            }
        }
        return;
    }

    int i = p + rand.nextInt(r - p + 1);
    swap(a, p, i);

    i = p;
    int j = r + 1;
    int x = a[p];
    while (true) {
        do {
            i++;
        } while (i &lt;= r &amp;&amp; a[i] &lt; x);
        do {
            j--;
        } while (a[j] &gt; x);
        if (j &lt; i)
            break;
        swap(a, i, j);
    }
    swap(a, p, j);
    qsort4(a, p, j - 1);
    qsort4(a, j + 1, r);
}

[/java]

如果数组大小小于7就使用插入排序,7这个数字完全是经验值。查看qsort3和qsort4的测试比较:

算法

随机数组

升序数组

降序数组

重复数组

qsort3

229.44

18.696

18.507

43.428

qsort4

173.201

7.436

7.477

32.195



qsort4改进的效果非常明显,所有基准测试的结果都取得了明显的进步。qsort4还有一种变形,现在是在每个递归的子序列上进行插入排序,也可以换一种形式,当小于某个特定阀值的时候直接返回不进行任何排序,在递归返回之后,对整个数组进行一次插入排序,这个时候整个数组是由一个一个没有排序的子序列按照顺序组成的,因此插入排序可以很快地将整个数组排序,这个变形的qsort5跟qsort4没有本质上的不同:

[java]
public void qsort5(int[] a, int p, int r) {
if (p >= r)
return;

    // 递归子序列,并且数组大小小于7,直接返回
    if (p != 0 &amp;&amp; r!=(a.length-1) &amp;&amp; r - p + 1 &lt; 7)
        return;

    // 随机选
    int i = p + rand.nextInt(r - p + 1);
    swap(a, p, i);

    i = p;
    int j = r + 1;
    int x = a[p];
    while (true) {
        do {
            i++;
        } while (i &lt;= r &amp;&amp; a[i] &lt; x);
        do {
            j--;
        } while (a[j] &gt; x);
        if (j &lt; i)
            break;
        swap(a, i, j);
    }
    swap(a, p, j);
    qsort5(a, p, j - 1);
    qsort5(a, j + 1, r);

    // 最后对整个数组进行插入排序
    if (p == 0 &amp;&amp; r==a.length-1) {
        for (i = 0; i &lt;= r; i++) {
            for (j = i; j &gt; 0 &amp;&amp; a[j - 1] &gt; a[j]; j--) {
                swap(a, j, j - 1);
            }
        }
        return;
    }

}

[/java]

基准测试的结果也证明了qsort4和qsort5是一样的:

算法

随机数组

升序数组

降序数组

重复数组

qsort4

173.201

7.436

7.477

32.195

qsort5

175.031

7.324

7.453

32.322



现在,最大的开销还是随机数产生器选择pivot带来的开销,我们用随机数产生器来选择pivot,是希望pivot能尽量将数组划分得均匀一些,可以选 择一个替代方案来替代随机数产生器来选择pivot,比如三数取中,通过对序列的first、middle和last做比较,选择三个数的中间大小的那一 个做pivot,从概率上可以将比较次数下降到12/7 ln(n)。
median-of-three对小数组来说有很大的概率选择到一个比较好的pivot,但是对于大数组来说就不足以保证能够选择出一个好的pivot, 因此还有个办法是所谓median-of-nine,这个怎么做呢?它是先从数组中分三次取样,每次取三个数,三个样品各取出中数,然后从这三个中数当中 再取出一个中数作为pivot,也就是median-of-medians。取样也不是乱来,分别是在左端点、中点和右端点取样。什么时候采用 median-of-nine去选择pivot,这里也有个数组大小的阀值,这个值也完全是经验值,设定在40,大小大于40的数组使用median-of-nine选择pivot,大小在7到40之间的数组使用three-of-median选择pivot,大小等于7的数组直接选择中数作为pivot,大小小于7的数组则直接使用插入排序,这就是改进后的qsort6,已经非常接近于Arrays.sort的实现:

[java]
public void qsort6(int[] a, int p, int r) {
if (p >= r)
return;

    // 在数组大小小于7的情况下使用快速排序
    if (r - p + 1 &lt; 7) {
        for (int i = p; i &lt;= r; i++) {
            for (int j = i; j &gt; p &amp;&amp; a[j - 1] &gt; a[j]; j--) {
                swap(a, j, j - 1);
            }
        }
        return;
    }

    // 计算数组长度
    int len = r - p + 1;
    // 求出中点,大小等于7的数组选择pivot
    int m = p + (len &gt;&gt; 1);
    // 大小大于7
    if (len &gt; 7) {
        int l = p;
        int n = p + len - 1;
        if (len &gt; 40) { // 大数组,采用median-of-nine选择
            int s = len / 8;
            l = med3(a, l, l + s, l + 2 * s); // 取样左端点3个数并得出中数
            m = med3(a, m - s, m, m + s); // 取样中点3个数并得出中数
            n = med3(a, n - 2 * s, n - s, n); // 取样右端点3个数并得出中数
        }
        m = med3(a, l, m, n); // 取中数中的中数
    }
    // 交换pivot到左端点,后面的操作与qsort4相同
    swap(a, p, m);

    m = p;
    int j = r + 1;
    int x = a[p];
    while (true) {
        do {
            m++;
        } while (m &lt;= r &amp;&amp; a[m] &lt; x);
        do {
            j--;
        } while (a[j] &gt; x);
        if (j &lt; m)
            break;
        swap(a, m, j);
    }
    swap(a, p, j);
    qsort6(a, p, j - 1);
    qsort6(a, j + 1, r);
}

[/java]

其中的med3函数用于取三个数的中数:

[java]
private static int med3(int x[], int a, int b, int c) {
return x[a] < x[b] ? (x[b] < x[c] ? b : x[a] < x[c] ? c : a)
: x[b] > x[c] ? b : x[a] > x[c] ? c : a;
}
[/java]

运行基准测试跟qsort4进行比较:

算法

随机数组

升序数组

降序数组

重复数组

qsort4

173.201

7.436

7.477

32.195

qsort6

143.264

0.54

0.836

27.311



观察到qsort6的改进也非常明显,消除了随机产生器带来的开销,取中数的时间复杂度在O(1)。此时qsort6跟Arrays.sort的差距已经 非常小了。Array.sort所做的最后一个改进是针对划分算法,采用了所谓”split-end”的划分算法,这主要是为了针对equals的元素, 降低equals元素参与递归的开销。我们原来的划分算法是分为两个区域加上一个pivot:

跟pivot equals的元素分散在左右两个子序列里,继续参与递归调用。当数组里的相同元素很多的时候,这个开销是不可忽视的,因此一个方案是将这些相同的元素集 中存放到中间这个地方,不参与后续的递归处理,这就是”fat partition”,此时是将数组划分为3个区域:小于pivot,等于pivot以及大于pivot:

但是Arrays.sort采用的却不是”fat partition”,这是因为fat partition的实现比较复杂并且低效,Arrays.sort是将与pivot相同的元素划分到两端,也就是将数组分为了4个区域:

这就是split-end名称的由来,这个算法的实现可以跟qsort3的改进结合起来,同样是进行两端扫描,但是遇到equals的元素不是进行互换, 而是各自交换到两端。当扫描结束,还要将两端这些跟pivot equals的元素交换到中间位置,不相同的元素交换到两端,左边仍然是比pivot小的,右边是比pivot大的,分别进行递归的快速排序处理,这样改 进后的算法我们成为qsort7:

[java]
public void qsort7(int[] x, int p, int r) {
if (p >= r)
return;

    // 在数组大小小于7的情况下使用快速排序
    if (r - p + 1 &lt; 7) {
        for (int i = p; i &lt;= r; i++) {
            for (int j = i; j &gt; p &amp;&amp; x[j - 1] &gt; x[j]; j--) {
                swap(x, j, j - 1);
            }
        }
        return;
    }

    // 选择中数,与qsort6相同。
    int len = r - p + 1;
    int m = p + (len &gt;&gt; 1);
    if (len &gt; 7) {
        int l = p;
        int n = p + len - 1;
        if (len &gt; 40) {
            int s = len / 8;
            l = med3(x, l, l + s, l + 2 * s);
            m = med3(x, m - s, m, m + s);
            n = med3(x, n - 2 * s, n - s, n);
        }
        m = med3(x, l, m, n);
    }

    int v = x[m];

    // a,b进行左端扫描,c,d进行右端扫描
    int a = p, b = a, c = p + len - 1, d = c;
    while (true) {
        // 尝试找到大于pivot的元素
        while (b &lt;= c &amp;&amp; x[b] &lt;= v) {
            // 与pivot相同的交换到左端
            if (x[b] == v)
                swap(x, a++, b);
            b++;
        }
        // 尝试找到小于pivot的元素
        while (c &gt;= b &amp;&amp; x[c] &gt;= v) {
            // 与pivot相同的交换到右端
            if (x[c] == v)
                swap(x, c, d--);
            c--;
        }
        if (b &gt; c)
            break;
        // 交换找到的元素
        swap(x, b++, c--);
    }

    // 将相同的元素交换到中间
    int s, n = p + len;
    s = Math.min(a - p, b - a);
    vecswap(x, p, b - s, s);
    s = Math.min(d - c, n - d - 1);
    vecswap(x, b, n - s, s);

    // 递归调用子序列
    if ((s = b - a) &gt; 1)
        qsort7(x, p, s + p - 1);
    if ((s = d - c) &gt; 1)
        qsort7(x, n - s, n - 1);
}

[/java]

其中用到了vecswap方法用于批量交换一批数据,将a位置(包括a)之后n个元素与b位置(包括b)之后n个元素进行交换:

[java]
private static void vecswap(int x[], int a, int b, int n) {
for (int i = 0; i < n; i++, a++, b++)
swap(x, a, b);
}
[/java]

主要是用于划分后将两端与pivot相同的元素交换到中间来。qsort7的实现跟Arrays.sort的实现是一样的,看看split-end划分带来的改进跟qsort6的对比:

算法

随机数组

升序数组

降序数组

重复数组

qsort6

143.264

0.54

0.836

27.311

qsort6

140.468

0.491

0.506

26.639



这个结果跟Arrays.sort保持一致。

最后给几张7个快排程序的在4种测试中的对比图

还可以做的优化:
1、内联swap和vecswap函数,循环中的swap调用可以展开。
2、改进插入排序,这是《编程珠玑》里提到的,减少取值次数。

[java]
for (int i = p; i <= r; i++) {
int t = x[i];
int j = i;
for (; j > p && x[j - 1] > t; j–) {
x[j] = x[j - 1];
}
x[j] = t;
}
[/java]

3、递归可以展开为循环,最后一个递归调用是尾递归调用,很容易展开为循环,左子序列的递归调用就没那么容易展开了。

4、尝试更多取样算法来提高选择好的pivot的概率。

5、递归处理并行化

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